PROBLEMA ILUSTRATIVO DEL MUESTREO
El propopocito del siguiente problema es ver en resumen con el muestreo, principalmente las relacion que existe entre las frecuencias de la señal analogica, frecuancia de muestreo y la frecuencia digital. Al entender la relacion de estas frecuencias, en teoria, uno deberia saber que es el el muestreo y como realizar dicho procedimiento.
Problema
Considere la siguiente señal analogica: $x(t)=3\sin(100\pi t)$, donde t esta expresado en segundos, se pide:
- a) dibujar la señal x(t),$0\leqslant t \geqslant 40 ms$.
De la señal podemos deducir su frecuencia $2\pi f=100\pi \rightarrow f=50 \rightarrow T=20ms$, entonces podemos decir que nuestra señal analogica se repite cada 20 ms, y lo que nos piden es su grafica en 40ms, osea en 2 periodos de la señal.
para poder realizar la grafica utilizaremos en este caso el sofware MATLAB.
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CODIGO PARA REALIZAR LA GRAFICA
clear all
f=50; T=1/f;
t=0:T/100:2*T;
xa=3*sin(100*pi*t);
plot(t*1000,xa)
xlabel('Tiempo en ms')
ylabel('Amplitud')
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- b)La señal se muestrea con un periodo $T_{s}=\frac{1}{300}$. Obtenga la frecuencia de la señal discreta x[n] y compruebe si se trata de una secuencia periodica.
Primero debemos comprobar si cumple las condiciones del muestreo, para esto vamos a recurrir al teorema de muestreo de Nyquist, la cual nos dice, para que una señal analagogica pueda ser reconstruida despues de realizarle un muestreo se debe complir la condicion, $F_{s} \geqslant f$, donde $F_{s}$ es la frecuencia de muestreo y $f$ es la frecuencia de la señal analogica original.
Podemos comprobar que se cumple el teorema del muestreo de Nyquist, $300 \geqslant 50$, recordando que $F_{s}=\frac{1}{T_{s}}=300$.
En forma general si muestreamos una señal periodica $x(t)=A\sin(2\pi ft)$ al realizar el muestreo obtendremos una señal discreta de la forma $x[n]=A\sin(2\pi Fn)$, donde $F$ es la frecuencia digital de la señal discreta, y existe una relacion entres las tres frecuencias vistas anteriormente.
$$F=\frac{f}{F_{s}}$$
tambien cabe resaltar lo siguiente, para que una señal en tiempo discreto sea periodica $F$ debe ser una relacion de enteros. que en su forma simplificada sera de la forma $F=\frac{K}{N}$, donde K es el numero ciclos que se necesitan para representar la señal discreta periodica con N muestras.
Con todo lo aclarado anteriormente podemos hallar la frecuencia digital de la señal analogica de la siguiente manera $F=\frac{50}{300}=\frac{1}{6}$, lo cual nos dice que, utilizaremos 6 muestras para poder respresentar 1 periodo de la señal analogica, las siguiente grafica nos ayudara a entender mejor todo esto.
Observando la grafica podemos comprobar lo que se afirmo anteriormente, para que la señal muestreada sea periodica, la frecuencia digital debe ser una relacion de enteros.
GRAFICA DE SEÑAL x[n] Y DE LA SEÑAL ANALOGICA EN SU PERIODO
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CODIGO
clear all
f=50; T=1/f;
t=0:T/100:T;
xa=3*sin(100*pi*t);
subplot(2,1,1)
plot(t*1000,xa)
xlabel('Tiempo en ms')
ylabel('Amplitud')
grid on
%SEÑAL DISCRETA%
FS=300;TS=1/FS;
F=f/FS;
n=0:6;
xn=3*sin(2*pi*F*n);
subplot(2,1,2)
stem(n,xn)
grid on
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c)Determine el valor de la frecuencia de muestreo para que la señal muestreada alcance un valor pico de 3.
Para que la señal discreta tome el valor maximo de la señal senoidal analogica se debe muestrear con una frecuencia de muestreo que sea multiplo de cuatro veces la frecuencia de señal original
$F_{s}=k4f$, para $k=1,2,3,..$. en este caso emplearemos una frecuencia de muestreo $F_{s}=4f=200$, entonces la frecuencia digital sera $F=\frac{1}{4}$.
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CODIGO
clear all
f=50; T=1/f;
t=0:T/100:T;
xa=3*sin(100*pi*t);
subplot(2,1,1)
plot(t*1000,xa)
xlabel('Tiempo en ms')
ylabel('Amplitud')
grid on
%SEÑAL DISCRETA%
FS=200;TS=1/FS;
F=f/FS;
n=0:4;
xn=3*sin(2*pi*F*n);
subplot(2,1,2)
stem(n,xn)
grid on
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