Examen resuelto de Procesamiento digital de señales

PROBLEMA 1

Considerando el filtro promediador de tres puntos descrito por la ecuacion de diferencia:

$y[n]=\frac{1}{3}(x[n]+x[n-1]+x[n-2])$, resolver lo siguiente:

a)Encuentre la respuesta al impulso unitario

b)Determine: b1)La funcion del modulo de la respuesta en frecuencia; b2)La funcion de la fase de la respuesta en frecuencia; b3)Dibuje su respuesta en frecuencia para el modulo.

c)Encuentre su respuesta a $x[n]=cos(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{4})$.

SOLUCION:

a)Encuentre la respuesta al impulso unitario

Para poder obtener la respuesta al inpulso unitario tenemos dos caminos, la primera es realizar la transforma de fourier y encontrar $H(e^{jw})$, despues realizar su transformada inversa. La segunda forma es es asumir que nuestra al sistema sea un $\delta[n]$, en consecuencia obtendremos en la salida una señal $h[n]$, en esta ocacion se utilizara el segundo metodo.

$$y[n]=\frac{1}{3}(x[n]+x[n-1]+x[n-2])$$

$$h[n]=\frac{1}{3}(\delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2])$$

$$h[n]=\frac{1}{3}(1 , 1 , 1)$$

b)Determine:

    b1)La funcion del modulo de la respuesta en frecuencia.

primero debemos de realizar la transformada de fourier de tiempo discreto (DTFT).

$H(Z)=\frac{1}{3}(1+Z^{-1}+Z^{-2}))$ reemplazando $Z=e^{j\omega}$.

$H(e^{j\omega})=\frac{1}{3}(1+e^{-j\omega}+e^{-j2\omega})$.

$H(e^{j\omega})=\frac{1}{3}(1+e^{\frac{-j3\omega}{2}}(e^{\frac{j\omega}{2}}+e^{\frac{-j\omega}{2}}))=\frac{1}{3}(1+2e^{\frac{-j3\omega}{2}}(cos(\frac{\omega}{2})))$

$H(e^{j\omega})=\frac{1}{3}(1+2cos(\frac{\omega}{2})cos(\frac{3\omega}{2})-j2cos(\frac{\omega}{2})sin(\frac{3\omega}{2}))$